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Il viaggio temporale nell'universo di Godel

David B. Malament

Il viaggio temporale nell’universo di Godel

Traduzione di Giovanni Mazzallo

Alla fine degli anni ’40 Godel (1949a) diede un contributo fondamentale alla teoria della relatività con la sua scoperta di una nuova importante soluzione all’equazione di Einstein. Essa rappresenta un universo possibile con proprietà abbastanza peculiari. Per un verso, l’intero contenuto materiale dell’universo di Godel è in uno stato di rotazione rigida ed uniforme. Per un altro, particelle libere innocue mostrano una sorta di effetto boomerang. Cosa più sorprendente fra tutte, l’universo di Godel ammette la possibilità del viaggio nel tempo in un certo senso. È questa terza caratteristica che io voglio discutere oggi. Certamente si possono intendere diverse cose con “viaggio nel tempo”. Nelle tradizionali storie fantascientifiche si presuppone una struttura temporale a sfondo classico, e il viaggiatore nel tempo è descritto nel suo saltare dal presente al passato (o verso il futuro). In un diagramma spazio-temporale la sua linea-universo apparirebbe come discontinua. Nell’universo di Godel le nostre nozioni di “passato”, “presente”, e “futuro” collassano al punto che tali storie non hanno davvero molto senso. Io ho qualcosa di abbastanza diverso in mente. Io considero il “viaggio temporale” né più, né meno, che l’atto di iniziare ad un punto particolare nello spazio-tempo, prendere una direzione altrimenti convenzionale, e ritornare in qualche modo allo stesso punto di partenza (o vicino ad esso). Nessun moto discontinuo è implicato. Né lo è la velocità superluminare. In termini geometrici, il mio viaggiatore temporale è semplicemente un uomo la cui linea-universo è chiusa (o quasi chiusa). Ho speso un bel po’ di tempo l’ultimo anno a pensare al “viaggio temporale”. Mi sono soffermato su uno specifico problema tecnico che era stato posto dal mio collega Bob Geroch. In un senso ha a che vedere con quanto difficile sarebbe, in termini pratici, eseguire il viaggio temporale se si vivesse nell’universo di Godel. Si dimostra che si può avere un’idea chiara della questione nel linguaggio della geometria spazio-temporale. Nella seconda metà della mia conferenza di oggi voglio discutere il problema su cui ho lavorato. Esporrò un risultato parziale, e una congettura. Ma inizialmente mi occuperò semplicemente di spiegare e motivare il problema. Prima di questo presenterò un po’ di esposizione preliminare. Spero che questo, almeno, sia di interesse generale. È mia impressione che un certo numero di persone abbia sentito dell’universo di Godel, e sia curiosa di esso, sebbene non siano particolarmente esperti di teoria della relatività. Questo in parte è dovuto semplicemente al loro interesse per Godel stesso. La sua, dopotutto, è stata una delle menti più grandi del nostro secolo: e la teoria della relatività è l’unico argomento su cui egli abbia compiuto delle pubblicazioni al di fuori della logica e dei fondamenti della matematica. In ogni caso, nella prima metà della mia conferenza proverò a spiegare proprio che aspetto abbia l’universo di Godel, e come emerga la possibilità del viaggio temporale. Penso di poter far ciò senza presupporre niente di più che una certa conoscenza indispensabile della teoria della relatività.

1.      Conoscenze preliminari

Ci sono soltanto alcuni fatti riguardanti la geometria spazio-temporale di cui avrò bisogno. Datemi un momento per riportarli in mente. È utile pensare che la teoria della relatività determini una classe di modelli possibili per la struttura spazio-temporale a larga scala dell’universo, o nella sua interezza, o in qualche ristretta regione di interesse come il nostro sistema solare. Ognuno dei suoi modelli è una coppia ordinata (M, gab). Qui M è una varietà quadridimensionale che rappresenta la totalità delle locazioni di tutti i punti-evento; e gab è un oggetto geometrico che rappresenta la struttura metrica dello spazio-tempo. Quest’ultimo, tecnicamente, è una metrica semi-riemanniana di segnatura lorentziana su M. Possiamo pensarlo, semplicemente, come una funzione che assegna lunghezze ai vettori dei punti di M, ma che, caratteristicamente, assegna lunghezze nulle e negative ai vettori così come lunghezze positive. Così suddivide i vettori per ciascun punto in tre classi, e determina una struttura a cono. Un vettore si dice di tipo tempo, nullo o di tipo spazio a seconda che la sua lunghezza sia positiva, nulla o negativa. I vettori di tipo tempo appaiono all’interno del cono. I vettori nulli giacciono ai confini. Di certo questi cosiddetti “coni nulli” hanno significatività fisica immediata. È assolutamente fondamentale per la teoria della relatività che ci sia un confine superiore alle velocità con cui le particelle possono viaggiare (come misurato da ciascun osservatore). Se noi consideriamo i vettori di un punto vettori di velocità, allora il cono può essere interpretato come se delimitasse quel confine superiore. Particelle con massa non-nulla devono avere vettori di velocità di tipo tempo; quelli con massa nulla (ad esempio i fotoni) devono avere vettori di velocità nulli. Ogni cono nullo ha due lobi. Noi diciamo che un modello spazio-temporale è temporalmente orientabile se, spaziando per l’intera varietà spazio-temporale, possiamo contrassegnarli come lobi del “passato” e del “futuro” in un modo che non ammette discontinuità. Si possono configurare modelli patologici che non sono temporalmente orientabili. Ma il modello di Godel lo è. Questo sarà chiaro dal diagramma spazio-temporale che considereremo fra qualche istante. Anche se, in un senso, le nozioni di passato e futuro collassano nel modello di Godel, ciò non avviene localmente. Poniamo l’attenzione, allora, sui modelli spazio-temporali che sono temporalmente orientabili, e assumiamo che è stato specificato qualche orientamento particolare. Questo ci permetterà di fare riferimento ai lobi del passato e del futuro senza ulteriori problemi. La nozione geometrica principale che io userò è quella di una curva di tipo tempo diretta verso il futuro. È semplicemente una curva sulla varietà spazio-temporale, opportunamente omogenea, il cui vettore tangente ad ogni punto è di tipo tempo e punta al futuro. Intuitivamente, essa “si fa strada” nei coni dei punti attraverso cui passa. Una curva di questo genere rappresenta la possibile storia di vita di una particella massiva. Brevemente, quando guardiamo ai diagrammi spazio-temporali, intenderò fare affermazioni del tipo: “Sarebbe possibile per una particella massiva (o una navicella spaziale) viaggiare dal punto p al punto q”. Per supportarle mi sarà sufficiente esibire, in ogni caso, una curva di tipo diretta verso il futuro che va da p a q. Dicendo che sarebbe possibile per una particella massiva fare il viaggio intendo solo dire che essa potrebbe farlo senza mai superare (o raggiungere) la velocità più alta possibile. Le considerazioni di tipo dinamico non sono di alcuna utilità. Data qualsiasi curva di tipo tempo diretta verso il futuro, la metrica spazio-temporale le associa varie grandezze, in particolare, lunghezza ed accelerazione. Certamente anche queste hanno immediata significatività fisica. La lunghezza è di solito definita tempo proprio trascorso. È un altro principio basilare della teoria della relatività che gli orologi naturali registrino il suo passaggio, almeno approssimativamente. L’accelerazione, ossia l’accelerazione quadrivettoriale invariante, rientra nella seconda legge del moto. Curve di tipo tempo con accelerazione che si annulla sono geodesiche di tipo tempo.

2.      Che aspetto ha l’universo di Godel

Fatte queste considerazioni, lasciatemi ritornare all’argomento del viaggio temporale. Dirò che un modello spazio-temporale concede la possibilità del viaggio temporale se ammette curve di tipo tempo dirette verso il futuro che sono chiuse (o quasi chiuse). Non è difficile trovare modelli che abbiano questa proprietà. Per esempio, possiamo cominciare con il semplice spazio-tempo di Minkowski e, usando una costruzione standard del quoziente di spazio, avvolgerlo in una specie di modello cilindrico. È chiaro che in questa versione riavvolta dello spazio-tempo minkowskiano esistano curve di tipo tempo dirette verso il futuro. Difatti, dati qualsivoglia due punti nel modello c’è una curva di tipo tempo diretta verso il futuro che va dal primo punto al secondo. Intuitivamente, se i punti sono molto distanti, allora la curva che li connette semplicemente si avvolgerà attorno al cilindro molte volte. Tutti gli esempi più semplici di modelli spazio-temporali che permettono il viaggio temporale sono simili a questo, e non sembrano molto interessanti. Tutte le loro curve chiuse di tipo tempo possono essere rimosse disidentificando i punti. Più precisamente, esse scompaiono quando si passa ad uno spazio ricoprente. L’universo di Godel è notevole perché le sue curve chiuse di tipo tempo non possono essere rimosse in questo modo. Esso concede la possibilità del viaggio temporale, ma non perché la sua varietà spazio-temporale sottostante è topologicamente complessa. Difatti, la varietà è solo R4 . Non potrebbe essere più semplice. Consideriamo, adesso, un diagramma spazio-temporale del modello di Godel, e vediamo come sia possibile avere il viaggio nel tempo senza una topologia complessa. Nel diagramma è stata soppressa una dimensione spaziale, ma nessuna nota saliente si perde come risultato. Le linee verticali sono le linee-universo dei punti di maggiore massa dell’universo (stelle o galassie). Queste sono gli oggetti che giocano un ruolo nel determinare una struttura spazio-temporale a larga scala. (Ovviamente nel contesto della cosmologia gli effetti perturbanti di oggetti piccoli come tavoli, sedie e navicelle spaziali sono ignorati). Chiamerò queste linee-universo linee di materia. Il diagramma è teso a manifestare almeno alcune delle simmetrie dell’universo di Godel. Suggerisce, come dovrebbe, una simmetria rotazionale attorno alla linea di materia centrale, e anche una simmetria traslazionale verticale. Per sapere che aspetto abbiano i coni nulli per tutti i punti dello spazio-tempo, abbiamo soltanto bisogno di considerare una direzione radiale rappresentativa. Sulla linea di materia centrale i coni sono dritti e orientati di 45° rispetto al piano orizzontale indicato. Muovendosi verso l’esterno, i coni si aprono e si ribaltano in senso antiorario. Ad un raggio critico diventano tangenti al piano. Oltre quel raggio stanno a cavalcioni su di esso. È chiaro dal nostro diagramma che il modello di Godel è temporalmente orientabile. Certo, solo i lobi del “futuro” dei coni nulli sono stati tratteggiati. Ad ogni punto c’è un senso locale ben definito di passato e futuro. È anche chiaro che, com’è meglio che sia il caso, tutte le linee di materia si rivelano di tipo tempo. In caso contrario si attribuirebbero impossibilmente velocità elevate ai punti di maggiore massa dell’universo[1]. Considerate ora il cerchio più esterno del diagramma. Notate che attraversa i coni nulli dei punti attraverso cui passa. Se lo consideriamo orientato in senso antiorario, allora si qualifica come una curva chiusa di tipo tempo diretta verso il futuro. È il nostro primo esempio di una di esse. Da sé stabilisce la possibilità del viaggio temporale nell’universo di Godel. Mi riferirò a tutti i cerchi di tipo tempo di questo genere concentrici alla linea di materia centrale con il termine cerchi di Godel. Successivamente consideriamo un esempio in qualche modo più incisivo. Le linee di materia di per sé non sono chiuse. Esse presentano, individualmente, un ordine temporale ben definito. In accordo a quell’ordine, per esempio, il punto p sulla linea di materia centrale è precedente al punto q. Io affermo che c’è una curva di tipo tempo diretta verso il futuro che va da p a q. Di conseguenza è possibile per un viaggiatore nel tempo iniziare a p, costeggiare la linea di materia alla stessa distanza di q, e ancora ritornare a p. La prima metà di questo viaggio (da p a q) sarà abbastanza quieta perché le linee di materia di per sé sono geodesiche. Tutta l’accelerazione avverrà nella seconda metà. Un modo per andare da q a p è il seguente. Il viaggiatore temporale può inizialmente attorcigliarsi la via verso l’alto e verso l’esterno finché non passa il raggio critico. Dopo può avvolgersi la via verso il basso su una spirale a campo stretto (con la linea di materia centrale come suo asse) finché non atterra opportunamente lungo p. Poi, finalmente, può attorcigliarsi verso l’alto e verso l’interno finché non raggiunge p stesso. Dovrebbe essere chiaro che può, in questo modo, tracciare una curva di tipo tempo diretta verso il futuro. Potremmo considerare altri esempi individuali interessanti. Ma invece di far così, permettetemi immediatamente di alzare la posta e fare l’affermazione più forte possibile. Dati qualsivoglia due punti nell’universo di Godel c’è una curva di tipo tempo diretta verso il futuro che va dal primo al secondo. A tal proposito la situazione è la stessa dello spazio-tempo minkowskiano riavvolto. (Vi suggerisco di convincervi di questo provando alcuni esempi. In ogni caso qualche semplice variante della strategia navigazionale esibita nell’esempio precedente farà il trucchetto). Ne segue che nell’universo di Godel un viaggiatore temporale può iniziare a qualsiasi punto dello spazio-tempo, ritornare eventualmente ad esso, e fermarsi a qualsiasi altro punto dello spazio-tempo lungo la via! Ci sono ancora altre informazioni che possiamo estrapolare dal nostro diagramma dell’universo di Godel. Consideriamo la questione di quanto tempo sarebbe necessario per un viaggiatore temporale per ritornare al suo punto d’inizio come misurato dal suo cronometro da tasca. Il diagramma mostra chiaramente che il viaggio di andata e ritorno può essere eseguito con un tempo proprio trascorso arbitrariamente piccolo. Considerate i due cerchi disegnati nel diagramma. Quello interiore, con raggio critico, è una curva nulla chiusa di lunghezza 0. Quello esteriore (il cerchio di Godel) ha lunghezza positiva. Ora supponiamo che diminuiamo il raggio di quest’ultimo. Considerazioni sulla continuità garantiscono da sole che la sua lunghezza convergerà a 0 quando il raggio critico interiore viene raggiunto. Quest’esempio speciale illustra un principio di strategia navigazionale che è abbastanza generale. I viaggiatori temporali possono sempre contare per il risparmio di tempo sul tempo trascorso e spingere il suo valore a 0 viaggiando a velocità che sono asintotiche alla velocità più grande possibile. Dovrei menzionare che il nostro diagramma è ingannevole su un aspetto. Suggerisce che la linea di materia centrale è in qualche modo speciale. Infatti, il modello di Godel è interamente omogeneo. Dati qualsivoglia due punti in esso, si può trovare un’isometria globale che associa linee di materia a linee di materia, e porta il primo punto al secondo. In un senso, il diagramma dipinge l’universo di Godel dal punto di vista di un punto di maggiore massa. Ma quella stella o galassia non è migliore di qualunque altra. Si nota qualcosa di simile quando si è esposti per la prima volta alla relatività speciale e i diagrammi spazio-temporali sono usati per spiegare, ad esempio, la relatività della simultaneità. In quei diagrammi si considerano le linee-universo di due osservatori che non sono in accelerazione. Generalmente una delle linee-universo è in una posizione verticale, e l’altra è obliqua ad essa. Certamente quell’asimmetria posizionale non riflette alcuna asimmetria fisica. Non è come se il primo osservatore fosse l’unico che è veramente a riposo.

3.      Un’osservazione finale

Vorrei chiudere facendo un’osservazione su un argomento completamente diverso. È chiaro, penso, che il modello di Godel è una struttura geometrica affascinante. Ma qualche volta si afferma che non sia più di una curiosità matematica e che non abbia “significatività fisica”. Quest’affermazione può voler dire, semplicemente, che il modello di Godel non è compatibile con tutti i dati astrofisici attualmente disponibili. Questo è certamente vero. Abbiamo buone prove che il nostro universo si sta espandendo: quello di Godel non si espande. Ma qualche volta l’affermazione è compiuta in un senso molto più forte, ossia che il modello di Godel può essere rigettato a priori fintantoché ammette la possibilità del viaggio temporale. Non dovrebbe nemmeno essere considerato come rappresentante di una possibile struttura spazio-temporale del nostro universo. L’opinione è che il viaggio temporale, persino la nostra varietà che non implica discontinuità di moto, è semplicemente assurdo e porta a contraddizioni logiche. Sapete qual è l’opinione in proposito. Se il viaggio temporale fosse possibile, si potrebbe andare all’indietro nel tempo e disfare il passato. Si potrebbe fare in modo di ottenere sia la condizione P che non-P allo stesso punto nello spazio-tempo. Per esempio, potrei andare indietro e uccidere il mio io infante più giovane rendendo impossibile al mio io più giovane crescere per essere me. Voglio semplicemente osservare che argomenti di questo tipo non mi sono mai sembrati convincenti. Non credo che da soli bastino a confutare il modello di Godel. E qui dimentichiamoci delle possibili difficoltà pratiche che accompagnano il viaggio temporale. Non sono ciò che ho in mente. Il problema con questi argomenti è che semplicemente non stabiliscono ciò che vogliono stabilire. Se io potessi andare indietro e uccidere il mio io bambino, si originerebbe una sorta di contraddizione. Ma l’unica conclusione da tirare da questo è che se provassi ad andare indietro e ad uccidere il mio io infante allora, per qualche ragione, io fallirei. Forse inciamperei all’ultimo minuto. I soliti argomenti non stabiliscono che il viaggio temporale è impossibile, ma solo che se fosse possibile, certe azioni non si potrebbero eseguire, certi dispositivi meccanici non si potrebbero costruire, e così via. Attualmente non vedo i soliti argomenti per provare l’assurdità del viaggio temporale più persuasivi di argomenti alquanto similari che si potrebbero fare per provare l’assurdità dell’ordinario determinismo semplice al livello dell’agire umano. Se il determinismo è valido a questo livello, presumibilmente, è determinato ora se alzerò il mio braccio fra 60 secondi. Questo colpisce alcune persone come un fatto molto strano perché sembra che noi siamo nella libertà o di alzare le nostre braccia in un dato momento o di non farlo. Ma sicuramente non c’è nulla che si avvicini ad assurdità genuina qui. Coloro che credono nella compatibilità di libero arbitrio e determinismo non vedranno alcun problema in primo luogo. Coloro che non credono nella compatibilità possono dire tranquillamente il peggio del libero arbitrio. Nessun partito è costretto a cedere il determinismo a pena di contraddizione. Ancora, noi abbiamo buone prove che il modello di Godel non descrive il nostro universo. Io sto soltanto proponendo qui che esso non può essere rigettato a priori. E neanche può farlo qualsiasi altro modello cosmologico soltanto perché esso ammette la possibilità del viaggio temporale.

 

RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI

Godel, Kurt. (1949a). “An Example of a New Type of Cosmological Solutions of Einstein’s Field Equations of Gravitation.” Reviews of Modern Physics 21: 447-450

                                                       

Hawking, S. W. and Ellis, G. F. R. (1973). The Large Scale Structure of Space-Time. Cambridge: Cambridge University Press


[1] Curiosamente, il diagramma del modello di Godel dato in Hawking ed Ellis (1973) è frainteso riguardo proprio a questo punto. Esso raffigura le linee di materia come se fossero di tipo spazio! (Il diagramma è anche frainteso nella sua raffigurazione delle geodesiche di tipo tempo del modello)




Aggiunto il 13/10/2015 10:34 da Giovanni Mazzallo

Disciplina: Filosofia della scienza

Autore: Giovanni Mazzallo



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